Question

（本小题满分12分）

        已知函数的图像经过点A（0，0），B（3，7）及C，为数列 的前n项和

   （I）求

   （II）若数列满足，求数列的前n项和

Answer 1

【解】（I）由，得，             ……2分

∴f （x）＝2^x－1，∴S_n＝2ⁿ－1（n∈N^*）．……3分

∴当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝2ⁿ－2^n－1＝2^n－1．               ……4分

当n＝1时，S₁＝a₁＝1符合上式．           ……5分

∴a_n＝2^n－1（n∈N^*）．                             ……6分

（II）由（1）知c_n＝12na_n－n＝6n×2ⁿ－n．                  ……8分

从而T_n＝6（1×2＋2×2²＋…＋n×2ⁿ）－（1＋2＋…＋n）

错位相减法得：＝6（n－1）·2^n＋1－＋12．     ……12分