题目内容

设函数f（x）=tanx-8sinx，其中 $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对 $数学公式$ ， $数学公式$ ，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a恒成立，求实数a的取值范围．

解：（1）由f（x）=tanx-8sinx，得 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，解得， $\text{[math]}$ ，
所以，函数f（x）的单调递增区间是： $\text{[math]}$ ，递减区间是 $\text{[math]}$ ．
（2）若对 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a恒成立，
只需|f（x₁）-f（x₂）|_max≤a．
由（1）得 f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减，
所以，当 $\text{[math]}$ 时，- $\text{[math]}$ ≤f（x₁）≤0，
同理，- $\text{[math]}$ ≤f（x₂）≤0，
所以，- $\text{[math]}$ ≤f（x₁）-f（x₂）≤ $\text{[math]}$ ，
所以0≤|f（x₁）-f（x₂）|≤ $\text{[math]}$ ，
所以|f（x₁）-f（x₂）|_max= $\text{[math]}$ ，
所以，a≥ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）求导函数，利用导数的正负可得函数的单调区间；
（2）对 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a恒成立，等价于|f（x₁）-f（x₂）|_max≤a，由此可求实数a的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．