Question

1．已知函数f（x）=m-|x-2|（m＞0），且f（x+2）≥0的解集为[-3，3]
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a＞0，b＞0，c＞0且$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{3b}$+$\frac{1}{4c}$=$\frac{m}{3}$，求证：2a+3b+4c≥9．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据绝对值不等式的解法进行求解即可．
（Ⅱ）由条件得$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{3b}$+$\frac{1}{4c}$=1，利用1的代换，结合基本不等式进行证明求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x+2）=m-|x|，
由且f（x+2）≥0得m-|x|≥0，即|x|≤m，
即-m≤x≤m，
∵f（x+2）≥0的解集为[-3，3]
∴m=3；
证明：（Ⅱ）∵m=3，
∴$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{3b}$+$\frac{1}{4c}$=$\frac{m}{3}$=1，
则2a+3b+4c=（2a+3b+4c）（$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{3b}$+$\frac{1}{4c}$）=3+$\frac{3b}{2a}$+$\frac{2a}{3b}$+$\frac{4c}{2a}$+$\frac{2a}{4c}$+$\frac{4c}{3b}$+$\frac{3b}{4c}$≥3+2+2+2=9，
当且仅当$\frac{3b}{2a}$=$\frac{2a}{3b}$，$\frac{4c}{2a}$=$\frac{2a}{4c}$，$\frac{4c}{3b}$=$\frac{3b}{4c}$，即2a=3b=4c，即a=$\frac{3}{2}$，b=1，c=$\frac{3}{4}$时，取等号．
即2a+3b+4c≥9成立．

点评 本题主要考查绝对值不等式和基本不等式的应用，利用1的代换以及基本不等式是解决本题的关键．