Question

已知函数f（x）=a+bsin2x+ccos2x的图象经过点A（0，1），B（

π

4

，1），且当x∈[0，

π

4

]时，f（x）取得最大值2

2

-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在向量m，使得将f（x）的图象按向量m平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出满足条件的一个m；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f（x）=a+bsin2x+ccos2x的图象经过点A（0，1），B（

π

4

，1），结合 当x∈[0，

π

4

]时，f（x）取得最大值2

2

-1我们易求出a，b，c的值，进而求出f（x）的解析式；
（Ⅱ）由已知中f（x）的解析式，根据正弦型函数的性质，可以求出他的图象的对称中心，将其对称中心平移到原点即可得到一个奇函数的图象，由此可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由题意知

a+c=1 a+b=1

（2分）
∴b=c=1-a，
∴f（x）=a+

2

（1-a）sin（2x+

π

4

）．（1分）
∵x∈[0，

π

4

]，
∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]．（1分）
当1-a＞0时，
由a+

2

（1-a）=2

2

-1，
解得a=-1；    （2分）
当1-a＜0时，
a+

2

（1-a）•

2

2

=2

2

-1，无解； （1分）
当1-a=0时，a=2

2

-1，相矛盾．（1分）
综上可知a=-1．（2分）
（Ⅱ）g(x)=2

2

sin2x是奇函数，将g（x）的图象向左平移

π

8

个单位，再向下平移一个单位就可以得到f（x）的图象．因此，将f（x）的图象向右平移

π

8

个单位，再向上平移一个单位就可以得到奇函数g(x)=2

2

sin2x的图象．故

m

=(

π

8

，1)是满足条件的一个向量．（4分）

点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，正弦函数的图象和性质，其中（1）中要注意对1-a＞0时的符合进行分类讨论，尽管对答案无影响，但在题目答案的严谨性方面还是必要的．