Question

已知曲线C₁：y=ax²+b和曲线C₂：y=2blnx（a，b∈R）均与直线l：y=2x相切．
（1）求实数a、b的值；
（2）设直线x=t（t＞0）与曲线C₁，C₂及直线l分别相交于点M，N，P，记f（t）=|MP|-|NP|，求f（t）在区间（0，e]（e为自然对数的底）上的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意及导数的几何含义可以先设出两个切点的坐标，利用条件建立a，b方程解出即可；
（2）由题意直线x=t（t＞0）与曲线C₁，C₂及直线l分别相交于点M，N，P，可以联立直线方程与曲线方程及直线方程，求出M，N，P的坐标，利用两点间的距离公式得到
（t）=|MP|-|NP|的函数表达式，在有定义域求出值域即可．

解答：解：（1）设曲线C₁，C₂与直线l相切的切点分别是（t₁，at₁²+b），（t₂，2blnt₂），
则at12+b=2t1，at22+b=2t2
对函数分别求导可得，y^'=2at，y′=

2b

x

则

2at1=2 2b t2 =2

?

t1= 1 a t2=b

，
所以切线方程分别为：y-

1

a

=2(x-

1

a

)，y-2blnb=2（x-b），即为y=2x
所以

b- 1 a =0 2blnb=2b

∴

b=e a= 1 e

（2）由（1）可得线C₁：y=

1

e

x²+e和曲线C₂：y=2elnx，L；y=2x
由题意可以得到：

x=t y= x2 e +e

，

x=t y=2elnx

，

x=t y=2x

∴M（t，

t2

e

+e），N（t，2elnt），P（t，2t），
所以f（t）=|MP|-|NP|=

1

e

t2-4t+2elnt+e，f′(t)=

2t

e

-4+

2e

t

≥0在t∈（0，e]恒成立
所以函数f（t）在定义域上位单调递增函数，所以（f（t）_max=f（e）=0．

点评：此题考查了导数的几何含义及利用方程的思想求解未知的变量的知，还考查了联立方程解交点，及利用导函数求出函数的单调性并利用单调性求出函数的最大值．