题目内容

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足ccosB+bcosC-3acosA=0．
（Ⅰ）求cosA的值；　　
（Ⅱ）若△ABC的面积是 $数学公式$ ，求 $数学公式$ 的值．

解：（Ⅰ）由正弦定理 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 化简已知的等式得：sinCcosB+sinBcosC-3sinAcosA=0，
即sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosA，
∴sin（B+C）=3sinAcosA，即sinA=3cosAsinA，
又sinA≠0，
∴cosA= $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）∵cosA= $\text{[math]}$ ，A为三角形的内角，
∴sinA= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
由题意，得S_△ABC= $\text{[math]}$ bcsinA= $\text{[math]}$ bc= $\text{[math]}$ ，
∴bc= $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =bccosA= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，整理后利用两角和与差的正弦函数公式变形，再利用诱导公式化简，根据sinA不为0，即可求出cosA的值；
（Ⅱ）由cosA的值及A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将已知的面积及sinA的值代入求出bc的值，将所求式子利用平面向量的数量积运算法则化简后，将bc及sinA的值代入即可求出值．
点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，三角形的面积公式，同角三角函数间的基本关系，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．