Question

 如图所示，棱柱的所有棱长都等于2，，平面AA₁C₁C⊥ABCD，∠A₁AC=60°.

（I）证明：BD⊥AA₁.

（II）求二面角D―A₁A―C的平面角的余弦值.

（III）在直线CC₁上是否存在点P，使BP//平面DA₁C₁？若存在，求出点P的位置；若不存在，试说明理由.

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）连结BD交AC于O，由于四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC. 又因为二面角D-AC-A₁为直二面角，所以BD⊥ACA₁.所以BD⊥AA₁              4分                                        

   （II）作OK⊥AA₁于K，连结DK，则DK⊥AA₁. 所以∠OAK=60°所以OK=

而OD=，故tan∠DKO=2,即二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值是     8分

（III）延长C₁C到P使CP=C₁C，连结B₁C，BP，则BP//B₁C. 所以BP//A₁D. 又A₁D平面DA₁C₁，所以BP//平面DA₁C₁.                                   12分

注：利用空间直角坐标系法解题参照给分。