Question

如图所示，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为1，且AA₁⊥底面ABC，则三棱锥B₁-ABC₁的体积为（　　）

• A．

  3

  12

• B．

  3

  4

• C．

  6

  12

• D．

  6

  4

Answer 1

分析：根据题意，三棱柱ABC-A₁B₁C₁是棱长均为1的正三棱柱，算出它的体积V=

3

4

．再根据锥体的体积公式得三棱锥A-A₁B₁C₁、三棱锥C₁-ABC的体积都等于三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积的

1

3

，由此用三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积减去两个三棱锥的体积，即可算出三棱锥B₁-ABC₁的体积．

解答：解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为1，
∴底面△ABC为正三角形，面积S_△ABC=

3

4

AB2=

3

4

又∵AA₁⊥底面ABC，AA₁=1
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V ABC-A1B1C1=S_△ABC•AA₁=

3

4

∵三棱锥A-A₁B₁C₁、三棱锥C₁-ABC与三棱柱ABC-A₁B₁C₁等底等高
∴V A-A1B1C1=V C1-ABC=

1

3

V ABC-A1B1C1=

3

12

由此可得三棱锥B₁-ABC₁的体积V=V ABC-A1B1C1-V A-A1B1C1-V C1-ABC=

3

12

故选：A

点评：本题给出棱长均为1的正三棱柱，求其中的三棱锥B₁-ABC₁体积．着重考查了正三棱柱的性质、柱体和锥体的体积公式等知识，属于中档题．