Question

已知A，B，C为△ABC的三个内角，向量

a

=(

65

5

sin

A+B

2

，cos

A-B

2

)，且|

a

|=

3

5

5

．
（1）求tanA•tanB的值；
（2）求C的最大值，并判断此时△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）根据向量的运算法则，可得

13

5

sin2

A+B

2

+cos2

A-B

2

=

9

5

，进而利用二倍角公式和两角和公式化简整理，求得tanA•tanB的值．
（2）根据tanA+tanB的值，利用两角和公式表示出（tanA+tanB），tanC=tan[π-（A+B）]进而利用均值不等式求得函数的最小值．

解答：解：（1）∵|

a

|=

3

5

5

，∴

13

5

sin2

A+B

2

+cos2

A-B

2

=

9

5

13

5

1-cos(A+B)

2

+

1+cos(A-B)

2

=

9

5

∴13cos（A+B）=5cos（A-B）∴4cosAcosB=9sinAsinB，
∵cosAcosB≠0∴tanAtanB=

4

9

（2）由tanAtanB=

4

9

＞0，
知tanA，tanB＞0，tanA+tanB≥2

tanAtanB

=

4

3

tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

9

5

(tanA+tanB)≤-

9

5

×2

tanAtanB

=-

12

5

当且仅当tanA=tanB，即A=B时，tanC取得最大值-

12

5

，
所以C为钝角，△ABC一定是钝角三角形．

点评：本题主要考查了三角函数的化简求值，二倍角的应用等．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．