Question

（2005•海淀区二模）如图所示，在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，点D在斜边AB上，∠BCD=α(0＜α＜

π

2

)．把△ABC沿CD折起到△B′CD的位置，使平面B′CD⊥平面ACD
（Ⅰ）求点Bn到平面ACD的距离（用α表示）；
（Ⅱ）当AD⊥BnC时，求三棱锥Bn-ACD的体积；
（Ⅲ）当α=

π

3

时，求二面角Bn-AC-D的正切值．

Answer 1

分析：（I）作BnE⊥CD于E，利用平面和平面垂直的性质定理，证出BnE⊥平面ACD，BnE为所求．
（Ⅱ）当AD⊥BnC时，由（Ⅰ）中所作BnE⊥CD，得出

解答：（本小题满分16分）
解：（I）作B'E⊥CD于E…（1分）

∵平面BnCD⊥平面ACD ∴BnE⊥平面ACD ∴BnE的长为点Bn到平面ACD的距离 ∴BnE=BnC•sinα=sinα…(4分)

（II）∵BnE⊥平面ACD

∴CE为BnC在平面ACD内的射影 又AD⊥BnC， ∴AD⊥CD(CE)…(6分)

∴S△ACD= 1 2 • 1 2 AC•BC= 1 4 ，BnE=sin π 4 = 2 2 ∴VBn-ACD= 1 3 • 1 4 • 2 2 = 2 24 …(9分)

（文科）作EF⊥AC于F，连接BnF∵BnE⊥平面ACD，∴BnF⊥AC…（10分）∴∠BnFE为二面角Bn-AC-D的平面角…（11分）
在Rt△BnCE中，CE=BnC•cos

π

3

=

1

2

，BnE=BnC•sin

π

3

=

3

2

在Rt△CEF中，EF=CE•sin(

π

2

-

π

3

)=

1

2

•sin

π

6

=

1

4

，…（13分）

∵BnE⊥平面ACD，EF?平面ACD， ∴BnE⊥EF…(14分)

∴tan∠BnFE=

BnE

EF

=2

3

…（16分）
即二面角Bn-AC-D的正切值为2

3

．

点评：本题考查空间直线、平面位置关系的判断，空间角、体积求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．