Question

在平面直角坐标系中，已知向量

a

=(mx，2(y-2))，

b

=(x，y+2)（m∈R），且满足

a

⊥

b

，动点M（x，y）的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程，并说明该方程所表示的轨迹的形状；
（Ⅱ）若已知圆O：x²+y²=1，当m=1时，过点M作圆O的切线，切点为A、B，求向量

OA

•

OB

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，有M（x，y），欲求点M的轨迹C的方程，即寻找x，y之间的关系式，根据向量垂直利用向量间的关系求出M点的坐标的方程即可得；
（Ⅱ）欲向量

OA

•

OB

的最大值和最小值，先求出向量

OA

•

OB

用点M的坐标表示的函数式，后转化为求函数的最值即可求得．

解答：解：（Ⅰ）∵

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=mx2+2(y2-4)=0，
即mx²+2y²=8，（2分）
当m=0时，2y²=8，解得y=±2，表示两条与x轴平行的直线，
当m＜0时，

y2

4

-

-mx2

8

=1，表示中心在坐标原点焦点在y轴上的双曲线，
当m=2时，x²+y²=4，表示以原点为圆心，半径为2的圆，
当m＞2时，

y2

4

+

mx2

8

=1，表示中心在坐标原点焦点在y轴上的椭圆，
当0＜m＜2时，

mx2

8

+

y2

4

=1表示中心在坐标原点焦点在x轴上的椭圆．（7分）（少一个扣一分）
（Ⅱ）当m=1时，曲线C的方程为：

x2

8

+

y2

4

=1，
设∠AOB=2α，则

OA

•

OB

=|

OA

|•|

OB

|cos2α=cos2α=2cos2α-1，（8分）
∵MA与圆O相切于A，
∴在Rt△MAO中，cosα=

1

|MO|

，
即

OA

•

OB

=2cos2α-1=

2

MO2

-1=

2

x2+y2

-1，（10分）
由

x2

8

+

y2

4

=1，得x²=8-2y²，
∴

OA

•

OB

=

2

8-y2

-1，
∵0≤y²≤4，
∴当y²=0时，

OA

•

OB

取得最小值为-

3

4

，
当y²=4时，

OA

•

OB

取得最大值为-

1

2

．（12分）

点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题．求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．