Question

（2010•湖北模拟）设f（x）=-x³+ax²+bx+c（a＞0），在x=1处取得极大值，且存在斜率为

4

3

的切线．
（1）求a的取值范围；
（2）若函数y=f（x）在区间[m，n]上单调递增，求|m-n}的取值范围；
（3）是否存在a的取值使得对于任意x∈（-∞，0]，都有f（x）≥0．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的导函数f'（x），然后根据极值的定义和导数的几何意义建立方程组，解之即可求出a的取值范围；
（2）先求出f′（x）=0的值，再利用列表法讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极大值．
（2）由（1）得f（x）的单调增区间为（

2a

3

-1，1）从而|x₁-x₂|=2-

2a

3

∈[

4

3

，2）由此得到|m-n|的取值范围；
（3）方法一：利用f（x）的单调性得出f（x）在（-∞，0]上的最小值就是f（x）在R上的极小值，由f（x）_min=f（

2a

3

-1）=

4

27

a3-

4

3

a2+3a-2+c≥c，设g（a）=

4

27

a3-

4

3

a2+3a+1，利用导数研究它的单调性求出其最小值，从而得出不存在a的取值，使f（x）≥c恒成立；
方法二：f（x）≥c 等价于-x³+ax²+bx≥0，x∈（-∞，0]，先对x进行分类讨论：当x=0时，不等式恒成立；当x∈（-∞，0）时，上式等价于x²-ax-b≥0分离参数得a≥

x2-3

x-2

=x-2+

1

x-2

+4，即可得出结论．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
∴f′（1）=-3+2a+b=0，∴b=3-2a
f′（x）=-3（x-1）[x-（

2a

3

-1）]=0，解得x₁=1，x₂=

2a

3

-1
∵f（x）在x=1处有极大值，
则

2a

3

-1＜1，
∴a＜3
又f'（x）-

4

3

=0有实根，a≤1或a≥5，
∴0＜a≤1（4分）
（2）f（x）的单调增区间为（

2a

3

-1，1）
则|x₁-x₂|=2-

2a

3

∈[

4

3

，2）
[m、n]⊆[x₁，x₂]
∴|m-n|∈（0，2）（8分）
（3）（方法一）由于f（x）在（-∞，

2a

3

-1）上是减函数，
在（

2a

3

-1，1）上是增函数．
在（1，+∞）上是减函数，而x∈（-∞，0），
且

2a

3

-1∈（-1，

1

3

]．
f（x）在（-∞，0]上的最小值就是f（x）在R上的极小值．
f（x）_min=f（

2a

3

-1）=

4

27

a3-

4

3

a2+3a-2+c≥c，
得g（a）=）=

4

27

a3-

4

3

a2+3a+1，
g′（a）=

4

9

a2-

8

3

a+3=

4

9

（x-

9

2

）（a-

9

2

），在[

1

2

，1]上单调递增．
∴g（a）_min=g（

1

2

）=

1

54

-

1

3

+

3

2

-2＞0，不存在．
依上，不存在a的取值，使f（x）≥c恒成立．（14分）
（方法二）f（x）≥c 等价于-x³+ax²+bx+c≥c
即-x³+ax²+bx≥0，x∈（-∞，0]
当x=0时，不等式恒成立；
当x∈（-∞，0）时，上式等价于x²-ax-b≥0
即x²-ax-3+2a≥0，x²-3≥（x-2）a
a≥

x2-3

x-2

=x-2+

1

x-2

+4
g（x）=

1

x-2

+x-2+4在（-∞，0）上递增
所以g（x）＜-2+4=2即a＞2
而0＜a≤1，故不存在．（14分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值、利用导数研究函数的单调性、以及利用导数求闭区间上函数的最值等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，属于中档题．