Question

已知集合为{1，

1

2

，

1

4

，…，

1

2n-1

}，它的所有的三个元素的子集的和是S_n，则

lim

n→∞

2Sn

n2

=

 

．

Answer 1

分析：由于已知集合为{1，

1

2

，

1

4

，…，

1

2n-1

}，它的所有的三个元素的子集为：{1，

1

2

，

1

22

}，{

1

2

，

1

22

，

1

23

}，…，它的所有的三个元素的子集的和是S_n，利用组合的知识及等比数列的前n项和公式即可．

解答：解：由于要求集合为{1，

1

2

，

1

4

，…，

1

2n-1

}，它的所有的三个元素的子集的和是S_n，利用子集定义它的含有三个元素的子集中含1的个数为C_n-1²，
含

1

2

的个数为

C

2 n-1

，含

1

22

的个数为

C

2 n-1

，…，所以它的所有的三个元素的子集的和是Sn=(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)

C

2 n-1

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

×

(n-1)(n-2)

2

=（n²-3n+2）[1-(

1

2

)n]，所以

lim

n→∞

2Sn

n2

=

lim

n→∞

 

2(n2-3n+2)

n2

=2．
故答案为：2．

点评：此题考查了等比数列的前n项和，数列的极限，子集的定义，组合数的知识，及学生的理解与计算能力．