Question

18．设m为实数，函数f（x）=2x²+（x-m）|x-m|，h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{f（x）}{x}，x≠0}\\{0，x=0}\end{array}\right.$．若h（x）对于一切x∈[1，3]，不等式h（x）≥1恒成立，则实数m的取值范围是m≤2．

Answer 1

分析 当x∈[1，3]时，h（x）=$\frac{2{x}^{2}+（x-m）|x-m|}{x}$，分类讨论以确定函数的单调性，从而求最值，化简恒成立问题为最值问题即可．

解答 解：当x∈[1，3]时，
f（x）=2x²+（x-m）|x-m|，
h（x）=$\frac{2{x}^{2}+（x-m）|x-m|}{x}$，
当m≤1时，
h（x）=$\frac{2{x}^{2}+（x-m）^{2}}{x}$=3x+$\frac{{m}^{2}}{x}$-2m
≥3+$\frac{{m}^{2}}{x}$-2m≥1，
故不等式h（x）≥1恒成立；
当1＜m＜3时，
h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{{m}^{2}}{x}+2m，1≤x≤m}\\{3x+\frac{{m}^{2}}{x}-2m，m＜x≤3}\end{array}\right.$，
由对勾函数的单调性及分段函数的单调性可知，
h（x）在[1，3]上单调递增，
故h_min（x）=h（1）=1-m²+2m≥1，
故0≤m≤2，
故1＜m≤2；
当m≥3时，h（x）=x-$\frac{{m}^{2}}{x}$+2m在[1，3]上单调递增，
故h_min（x）=h（1）=1-m²+2m≥1，
故0≤m≤2，
故无解，
综上所述，m≤2．
故答案为：m≤2．

点评 本题考查了分段函数的应用及分类讨论的思想应用，关键在于化为最值问题．