Question

设平面上向量=（cosα，sinα）（0°≤α＜360°），=（-，）．
（1）试证：向量与垂直；
（2）当两个向量与的模相等时，求角α．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用向量加减法的坐标运算求出向量与的坐标，由向量数量积的坐标运算化简可得向量与的数量积为0，则结论得证；
（2）利用向量的数乘运算和加减法运算求出向量与的坐标，由模相等得到模的平方向等，转化为向量的平方相等后展开整理，由三角函数的值及角的范围可得答案．
解答：（1）证明：因为，
所以=，=．
=•
=
=．
所以向量与垂直；
（2）解：由，且，平方得，
整理得，即．
所以=，
即cos（60°+α）=0，或．
因为0°≤α＜360°，所以α=30°或α=210°．
点评：本题考查向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查了数学转化思想方法，训练了三角函数的已知三角函数值求角的方法，考查了学生的计算能力，是中档题．