题目内容
设平面上向量| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| a |
| b |
（Ⅰ）证明向量
| a |
| b |
| a |
| b |
（Ⅱ）若两个向量
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| 3 |
| b |
分析：（Ⅰ）计算|
|，|
|，通过计算(
+
)•(
-
)=|
|2-|
|2=0，证明向量
+
与
-
垂直；
（Ⅱ）两个向量
+
与
-
的模相等，满足(
•
+
)2=(
-
)2，得到sin(2α+
)=0，然后求角α．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（Ⅱ）两个向量
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| 3 |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| 3 |
| b |
| π |
| 6 |
解答：解：（Ⅰ）∵|
|=
=1，
|
|=
=1
∴(
+
)•(
-
)=
2-
2=|
|2-|
|2=0
∴(
+
)⊥(
-
)；（5分）
（Ⅱ）由题意：(
•
+
)2=(
-
)2
得：
•
=0∴
cos2α+
sin2α=0
得sin(2α+
)=0∴2α+
=kπ，k∈Z（10分）
又0≤α＜π，所以α=
或
．（12分）
| a |
| cos22α+sin22α |
|
| b |
(
|
∴(
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
∴(
| a |
| b |
| a |
| b |
（Ⅱ）由题意：(
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| 3 |
| b |
得：
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
得sin(2α+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
又0≤α＜π，所以α=
| 5π |
| 12 |
| 11π |
| 12 |
点评：本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，向量的模，二倍角的正弦，二倍角的余弦，考查计算能力．
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满足关系
，又设
与
的模为1，且互相垂直，则
与
的夹角为
为1，且互相垂直，则
的夹角为
