题目内容
已知函数
（m，n为常数），当x=2时，函数f（x）有极值，若函数f（x）只有三个零点，则实数n的取值范围是
- A.
- B.
- C.
- D.
B
分析：先求导，由于当x=2时，函数f（x）有极值，可得f′（2）=22-4m=0，解得m的值．令f′（x）=0，解得x=0或2，列表如下，由表格即可得到函数f（x）的极大值和极小值．
函数f（x）只有三个零点?
，解出即可．
解答：f′（x）=x2-2mx，∵当x=2时，函数f（x）有极值，∴f′（2）=22-4m=0，解得m=1．
∴f′（x）=x2-2x=x（x-2），经验证x=2时函数f（x）有极值．
令f′（x）=0，解得x=0或2，列表如下：
由表格可知：当x=0时，函数f（x）取得极大值，且[f（x）]极大值=f（0）=2n；
当x=2时，函数f（x）取得极小值，且[f（x）]极小值=f（2）=
．
∵函数f（x）只有三个零点，∴
，解得
．
∴实数n的取值范围是．
故选B．
点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值及函数f（x）只有三个零点?是解题的关键．
分析：先求导，由于当x=2时，函数f（x）有极值，可得f′（2）=22-4m=0，解得m的值．令f′（x）=0，解得x=0或2，列表如下，由表格即可得到函数f（x）的极大值和极小值．
函数f（x）只有三个零点?
，解出即可．解答：f′（x）=x2-2mx，∵当x=2时，函数f（x）有极值，∴f′（2）=22-4m=0，解得m=1．
∴f′（x）=x2-2x=x（x-2），经验证x=2时函数f（x）有极值．
令f′（x）=0，解得x=0或2，列表如下：
由表格可知：当x=0时，函数f（x）取得极大值，且[f（x）]极大值=f（0）=2n；
当x=2时，函数f（x）取得极小值，且[f（x）]极小值=f（2）=
．∵函数f（x）只有三个零点，∴
，解得．∴实数n的取值范围是
．故选B．
点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值及函数f（x）只有三个零点?
是解题的关键． 
练习册系列答案
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