题目内容
已知函数
（m、n为常数）．
（1）若f（x）在x=1和x=3处取得极值，试求m，n的值；
（2）若f（x）在（﹣∞，x1）、（x2，+∞）上单调递增，且在（x1，x2）上单调递减，又满足x2﹣x1＞1．求证：m2＞2（m+2n）．
（m、n为常数）．（1）若f（x）在x=1和x=3处取得极值，试求m，n的值；
（2）若f（x）在（﹣∞，x1）、（x2，+∞）上单调递增，且在（x1，x2）上单调递减，又满足x2﹣x1＞1．求证：m2＞2（m+2n）．
解：（1）∵函数
（m、n为常数），
∴f'（x）=x2+（m﹣1）x+n
据题意知1、3是方程x2+（m﹣1）x+n=0的两根，
∴1﹣m=1+3=4，n=1×3=3，即m=﹣3，n=3
（2）由题意知，
当x∈（﹣∞，x1）、（x2，+∞）时，f'（x）＞0；
当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0
∴
则x1+x2=1﹣m，x1x2=n
∴m=1﹣（x1+x2），n=x1x2
∴m2﹣2（m+2n）=m2﹣2m﹣4n
=
=
∵x2﹣x1＞1，
∴
，
∴m2＞2（m+2n）
（m、n为常数），∴f'（x）=x2+（m﹣1）x+n
据题意知1、3是方程x2+（m﹣1）x+n=0的两根，
∴1﹣m=1+3=4，n=1×3=3，即m=﹣3，n=3
（2）由题意知，
当x∈（﹣∞，x1）、（x2，+∞）时，f'（x）＞0；
当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0
∴
则x1+x2=1﹣m，x1x2=n
∴m=1﹣（x1+x2），n=x1x2
∴m2﹣2（m+2n）=m2﹣2m﹣4n
=
=∵x2﹣x1＞1，
∴
，∴m2＞2（m+2n）
练习册系列答案
南大教辅抢先起跑暑假衔接教程南京大学出版社系列答案
相关题目
（m，n为常数），当x=2时，函数f（x）有极值，若函数f（x）只有三个零点，则实数n的取值范围是
（m，n为常数），且关于x的方程f（x）=x-12有两个实数根x1=3，x2=4．
（m，n为常数），且关于x的方程f（x）=x-12有两个实数根x1=3，x2=4．