Question

【题目】如图，在梯形中，，，，，四边形是菱形，.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的平面角的正切值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).

【解析】试题分析：

(Ⅰ)由勾股定理可得，结合面面垂直的性质有.由菱形的性质可得，则平面，.

(Ⅱ)取的中点，连接，以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，据此计算可得平面的法向量，平面的法向量.

则二面角的平面角的余弦值，正切值为.

试题解析：

(Ⅰ)依题意，在等腰梯形中，，，

∵，∴即，

∵，∴，而，∴.

连接，∵四边形是菱形，∴，

∴，∵，∴.

(Ⅱ)取的中点，连接，因为四边形是菱形，且.

所以由平面几何易知，∵，∴.

故此可以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，各点的坐标依次为：，，，，，.

设平面和平面的法向量分别为，，

∵，.

∴由 ，令，则，

同理，求得.

∴，故二面角的平面角的正切值为.