Question

已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆的离心率是

3

2

，椭圆上任意一点到两个焦点距离之和为4．
（1）求椭圆标准方程；
（2）设椭圆长轴的左端点为A，P是椭圆上且位于第一象限的任意一点，AB∥OP，点B在椭圆上，R为直线AB与y轴的交点，证明：

AB

•

AR

=2

OP

2．

Answer 1

（1）根据题设，可设椭圆标准方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
则离心率e=

c

a

=

3

2

，c2=a2-b2(c＞0)，由椭圆定义，得2a=4
解得a=2，b=1，c=

3

所以椭圆标准方程为：

x2

4

+y2=1
（2）证明：由题意得A（-2，0），设P（x₁，y₁），B（x₂，y₂），R（0，y₃），其中x₁＞0，y₁＞0，
点P和点B都在椭圆上，则有

x 21

4

+

y

21

=1①

x 22

4

+

y

22

=1②
由AB∥OP，有kOP=

y1-0

x1-0

=kAB=

y2-0

x2-(-2)

，
即

y1

x1

=

y2

x2+2

③
由x₁＞0，y₁＞0可知x₂≠-2．
AB直线方程为：y-0=k_AB[x-（-2）]，即y=

y2

x2+2

(x+2)．
把R（0，y₃）代入，得y3=

2y2

x2+2

所以有

AB

=(x2+2，y2)，

OP

=(x2，y2)，

AR

=(2，

2y2

x2+2

)，
可得：

AB

•

AR

=2(x2+2)+

2 y 22

x2+2

④
2|

OP

|2=2(

x

21

+

y

21

)⑤
由①，②，③得：

x

21

=x2+2⑥
由①，⑤得：2|

OP

|2=2(

x

21

+

y

21

)=2+

3

2

x

21

⑦
由②，④得：

AB

•

AR

=2(x2+2)+

2 y 22

x2+2

=5+

3

2

x2⑧
由⑦，⑥得：2|

OP

|2=2(

x

21

+

y

21

)=2+

3

2

x

21

=5+

3

2

x2⑨
由⑧，⑨可证得：

AB

•

AR

=2

OP

2．