Question

19．若函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+x在区间（0，1）内为增函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [2，+∞）
• B． （0，2）
• C． （-∞，2）
• D． （-∞，2]

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，由题意可得f′（x）=x²-ax+1≥0对任意x∈（0，1）恒成立，分离参数a后，利用函数单调性求出$\frac{{x}^{2}+1}{x}$的范围得答案．

解答 解：由f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+x，得
f′（x）=x²-ax+1，
∵函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+x在区间（0，1）内为增函数，
∴f′（x）=x²-ax+1≥0对任意x∈（0，1）恒成立，
即a≤$\frac{{x}^{2}+1}{x}$在x∈（0，1）上恒成立，
∵$\frac{{x}^{2}+1}{x}=x+\frac{1}{x}$在（0，1）上为减函数，
∴$\frac{{x}^{2}+1}{x}=x+\frac{1}{x}$＞2，
则a≤2．
∴实数a的取值范围是（-∞，2]．
故选：D．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用函数单调性求函数的最值，是中档题．