题目内容
7．在△ABC中，（1）求证：sinA+sinB+sinC=4cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{B}{2}$cos$\frac{C}{2}$；
（2）若A+B=120°，求证：$\frac{a}{b+c}$+$\frac{b}{a+c}$=1；
（3）若acos2$\frac{C}{2}$+ccos2$\frac{A}{2}$=$\frac{3b}{2}$，求证：a+c=2b．
分析 （1）左边利用和差化积、诱导公式即可证明；
（2）A+B=120°，可得C=60°，由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos60°，把$\frac{a}{b+c}$+$\frac{b}{a+c}$通分代入即可证明；
（3）由于acos2$\frac{C}{2}$+ccos2$\frac{A}{2}$=$\frac{3b}{2}$，利用倍角公式化为a+c+acosC+ccosA=3b，再利用acosC+ccosA=b，即可证明．
解答 证明：（1）sinA+sinB+sinC=$2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}$+sinC
=$2cos\frac{C}{2}cos\frac{A-B}{2}$+$2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}$
=2$cos\frac{C}{2}$$（cos\frac{A-B}{2}+cos\frac{A+B}{2}）$
=$2cos\frac{C}{2}•2cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}$
=4cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{B}{2}$cos$\frac{C}{2}$；
∴sinA+sinB+sinC=4cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{B}{2}$cos$\frac{C}{2}$；
（2）∵A+B=120°，∴C=60°，∴c2=a2+b2-2abcos60°，化为c2=a2+b2-ab．
∴$\frac{a}{b+c}$+$\frac{b}{a+c}$=$\frac{{a}^{2}+ac+{b}^{2}+bc}{ab+ac+bc+{c}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+ac+bc}{ab+ac+bc+{a}^{2}+{b}^{2}-ab}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+ac+bc}{{a}^{2}+{b}^{2}+ac+bc}$=1，
∴$\frac{a}{b+c}$+$\frac{b}{a+c}$=1；
（3）∵acos2$\frac{C}{2}$+ccos2$\frac{A}{2}$=$\frac{3b}{2}$，
∴$a×\frac{1+cosC}{2}+c×\frac{1+cosA}{2}$=$\frac{3b}{2}$，
化为a+c+acosC+ccosA=3b，
∵acosC+ccosA=b，
∴a+c=2b．
点评 本题考查了和差化积、诱导公式、余弦定理、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
