Question

已知函数f（x）=x|x-a|．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性；
（2）求函数f（x）在[-1，1]的最小值g（a）．

Answer 1

分析：（1）对a分a=0与a≠0两类讨论，利用函数奇偶性的定义判断即可；
（2）结合图象，当a≥0时，g（a）=f（-1）=-1-a，当a≤-2时，g（a）=f（-1）=1+a；当-2＜a≤2-2

2

时，g（a）=f（

a

2

）=-

a2

4

；当2-2

2

＜a＜0时，g（a）=f（-1）=-1-a．

解答：（1）当a=0时，f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函数；
当a≠0时，f（-x）≠f（x），且f（-x）≠-f（x），所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数（6分）
（2）结合图象：

当a≥0时，g（a）=f（-1）=-1-a，
当a≤-2时，g（a）=f（-1）=1+a；

当-2＜a≤2-2

2

时，g（a）=f（

a

2

）=-

a2

4

；

当2-2

2

＜a＜0时，g（a）=f（-1）=-1-a，…（14分）

∴g（a）=

1+a，a≤-2 - a2 4 ，-2＜a≤2-2 2 -1-a，a＞2-2 2

…（16分）

点评：本题考查带绝对值的函数，考查二次函数及其最值，考查作图能力，分析问题，解决问题的能力，考查分类讨论思想，属于难题．