Question

已知A为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右顶点，若双曲线的右支上存在异于A的点B，使得直线AB的倾斜角为

π

4

，则双曲线的离心率的取值范围为

(1，

2

)

．

Answer 1

分析：设直线AB的方程为y=x-a，与双曲线的方程联立得到根与系数的关系，再利用a•x_B＞a²，及b²=c²-a²，离心率计算公式即可得出．

解答：解：设直线AB的方程为y=x-a，联立

y=x-a x2 a2 - y2 b2 =1

，化为（b²-a²）x²+2a³x-a⁴-a²b²=0．
∵此方程存在两个正实数根，一个是x₁=a，另一个x₂＞a．
且a•x2=

-a4-a2b2

b2-a2

＞a²，化为a²＞b²=c²-a²，得到

c2

a2

＜2，解得e=

c

a

＜

2

．
又e＞1．
∴双曲线的离心率的取值范围为（1，

2

）．
故答案为（1，

2

）．

点评：本题考查了直线与双曲线相交转化为方程联立得到根与系数的关系、b²=c²-a²、离心率计算公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．