Question

(1)用二项式定理证明11¹⁰-1能被100整除.

(2)求91⁹²被100除所得的余数.

Answer 1

思路分析:解决利用二项式定理证明整除问题关键是判断所证式子与除数之间的联系，要掌握好对式子的拆分，如本例的第（1）小题，可以利用11¹⁰=（10+1）¹⁰展开式进行证明，第（2）小题则可利用91⁹²=(100-9)⁹²展开式,或利用(90+1)⁹²展开式进行求解.

（1）证明：∵11¹⁰-1=(10+1)¹⁰-1=(10¹⁰+·10⁹+…+·10+1)-1

=10¹⁰+·10⁹+·10⁸+…+10²

=100(10⁸+·10⁷+·10⁶+…+1).

∴11¹⁰-1能被100整除.

(2)解法一：(100-9)⁹²=·100⁹²-·100⁹¹·9+·100⁹⁰·9²-…+9⁹²,

展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数.

∵9⁹²=(10-1)⁹²=·10⁹²-·10⁹¹+…+·10²-·10+1,

前91项均能被100整除,后两项和为-919,因余数为正,可从前面的数中分离出1 000,结果为1 000-919=81,

故91⁹²被100除可得余数为81.

解法二:(90+1)⁹²=·90⁹²+·90⁹¹+…+·90²+·90+.

前91项均能被100整除,剩下两项和为92×90+1=8 281,显然8 281除以100所得余数为81.

绿色通道：利用二项式定理可以求余数和整除性问题,通常需将底数化成两数的和与差的形式,且这种转化形式与除数有密切的关系.

黑色陷阱：出现余数为负数的情况.余数不可能为负,如本题中余数的范围是(0,100).