Question

某种商品原来定价为每件a元时，每天可售出m件．现在的把定价降低x个百分点（即x%）后，售出数量增加了y个百分点，且每天的销售额是原来的k倍．
（Ⅰ）设y=nx，其中n是大于1的常数，试将k写成x的函数；
（Ⅱ）求销售额最大时x的值（结果可用含n的式子表示）；
（Ⅲ）当n=2时，要使销售额比原来有所增加，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据定价降低x个百分点（即x%）后，售出数量增加了y个百分点，且每天的销售额是原来的k倍．可得a（1-x%）•m（1+y%）=kam，再将将y=nx代入，代简，即可将k写成x的函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ），利用配方法可知当x=

50(n-1)

n

时，k值最大，此时销售额=amk，所以此时销售额也最大．
（Ⅲ）当n=2时，k=-

x2

5000

+

1

100

x+1，要使销售额有所增加，即k＞1．从而可得-

x2

5000

+

x

100

＞0，解之即可．

解答：解：（Ⅰ）依题意得
a（1-x%）•m（1+y%）=kam，
将y=nx代入，代简得：
k=-

nx2

10000

+

(n-1)x

100

+1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当x=

50(n-1)

n

时，k值最大，此时销售额=amk，所以此时销售额也最大．
且销售额最大为

(n+1)2ma

4n

元．
（Ⅲ）当n=2时，k=-

x2

5000

+

1

100

x+1，
要使销售额有所增加，即k＞1．所以
-

x2

5000

+

x

100

＞0，
故x∈（0，50）
这就是说，当销售额有所增加时，降价幅度的范围需要在原价的一半以内．

点评：本题以实际问题为依托，考查函数模型的构建，考查二次函数最值的求解，属于中档题．