Question

【题目】曲线 是平面内到定点 的距离与到定直线 的距离之和为 的动点 的轨迹．则曲线 与 轴交点的坐标是________________；又已知点 （ 为常数），那么 的最小值 ________________．

Answer 1

【答案】

【解析】

根据题意，求出曲线的轨迹方程，进而求出与y轴交点坐标。

通过分类讨论，在不同范围内，由曲线方程的意义求得最小值。

（1）设点P坐标为（x，y），因为动点 到定点 的距离与到定直线 的距离之和为

所以

当 时，代入求得

所以与y轴交点为

（2）当 时，曲线C可以化为

当时，曲线C可以化为

令 ，则 或

解得 或

当 或 时，

所以

当 时，当直线 与 相交时，交点P满足取得最小值

因为抛物线准线方程为

所以直线与准线交点坐标为（2,1）

此时

当时，当直线与 相交时，交点P满足取得最小值

此时抛物线准线方程为

所以直线与准线交点坐标为（-4,1）

此时

综上所述，