Question

【题目】如图等腰梯形中，且平面 平面，，为线段的中点.

（1）求证：直线平面；

（2）求证：平面 平面；

（3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）取中点，连接，可证，从而得到要证的线面平行.

（2）由平面平面可得平面，从而得到要证的面面垂直.

（3）可证即为直线与平面所成的角，在直角三角形中可求.

（Ⅰ）证明：取中点，连接，

因为为，所以且，所以四边形为平行四边形，

所以，又因为平面，平面，

所以平面.

（Ⅱ）证明：因为平面平面，平面，

，平面平面 ，

所以平面，又因为平面，所以平面平面.

（Ⅲ）由第（Ⅱ）问知，平面，

因平面，平面，

所以，，故为二面角的平面角，

即.

在等腰梯形中，因为，所以，

由第（Ⅰ）问知，，所以与平面所成的角相等.

又因为平面，所以即为直线与平面所成的角，

又，

所以.