Question

如图，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的各棱长都等于2，D在AC₁上，F为BB₁中点，且FD⊥AC₁.

 

 

   （1）试求的值；

   （2）求二面角F－AC₁－C的大小；

   （3）求点C₁到平面AFC的距离.

 

Answer 1

【答案】

本小题考查空间线线、线面关系及二面角的求法.

解（解法一）（1）连AF，FC₁，因为三棱柱ABC－A₁B₁C₁是正三棱柱且各棱长都等于2，又F为BB₁中点，∴Rt△ABF≌Rt△C₁B₁F，

∴AF＝FC₁.  又在△AFC₁中，FD⊥AC₁，

所以D为AC₁的中点，即.（4分）

   （2）取AC的中点E，连接BE及DE，

 

则得DE与FB平行且相等，所以四边形DEBF是平行四边形，所以FD与BE平行.

因为三棱柱ABC－A₁B₁C₁是正三棱柱，

所以△ABC是正三角形，∴BE⊥AC，∴FD⊥AC，又∵FD⊥AC₁，∴FD⊥平面ACC₁，

∴平面AFC₁⊥平面ACC₁    所以二面角F－AC₁－C的大小为.　　　　（9分）

   （3）运用等积法求解：AC＝2，AF＝CF＝，可求，

，

，得.　　　（12分）

（解法二）取BC的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系.

由已知得

（1）设，则,

得，

 

  

即

解得，即.　　（4分）

   （2）设平面FAC₁的一个法向量为

，由得，

又由，得，

仿上可得平面ACC₁的一个法向量为.　　　（6分）

.故二面角F－AC₁－C的大小为.　（8分）

   （3）设平面AFC的一个法向量为，

由得， 由得.

解得

所以C₁到平面AFC的距离为

【解析】略