Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为2，异面直线A₁B与B₁C₁所成角的大小为arccos

5

10

．
（1）求侧棱AA₁的长；
（2）求点B₁到平面A₁BC的距离．

Answer 1

分析：（1）设AA₁=a，求侧棱AA₁的长，需要找到与它有关的方程，由题设条件及图形知，∴∠A₁BC就是异面直线A₁B与B₁C₁所成的角，由于此角余弦值已知，且△A₁BC的边A₁B，A₁C的长度都可以用侧棱AA₁的长度a表示出来，由此可以利用余弦定理建立关于AA₁的方程．
（2）本小题求点到面的距离，在立体几何中一般采取用等体积法求解，观察图形知VB1-A1BC=VC-A1BB1，点到面的距离易得．

解答：解：（1）∵B₁C₁∥BC，
∴∠A₁BC就是异面直线A₁B与B₁C₁所成的角，…（2分）
设AA₁=a，则在△A₁BC中，A1B=A1C=

a2+4

，BC=2，…（4分）
于是cos∠A1BC=

1

a2+4

=

5

10

，…（6分）解得a=4．…（7分）
所以，侧棱AA₁的长为4．…（8分）
（2）设B₁到平面A₁BC的距离为h，因为VB1-A1BC=VC-A1BB1，
而SA1BC=

19

，…（9分）
SA1BB1=4，…（10分）
于是，

19

h=4

3

，解得h=

4 57

19

．…（13分）
所以，点B₁到平面A₁BC的距离为

4 57

19

．…（14分）

点评：本题考查点到面的距离求法，解题的关键是掌握住等体积法的技巧求点到面的距离，此类题求解时，技巧是转换角度，且点所对的多边形的面积易求，满足了这些条件用等体积法才比较快捷，若这些条件不满足，则此法不好用，学习一种典型题的解法，要注意它的适用范围，适时总结