题目内容

（2009•浦东新区一模）设复数z1满足（1-i）z1=1+3i，z2=a-i（a∈R），（其中i为虚数单位）．若 | z1-
.
z2
 | ＞ 
2
  |z1|，求实数a的取值范围．
分析：化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数，化简为a+bi的形式即可得到z1，根据模长之间的关系，得到关于a的不等式，解出a的范围．
解答：解：z1=
1+3i
1-i
 =-1+2i…（5分）
z1-
.
z2
 =(-1+2i) -(a+i) =-1-a+i…（8分）
由| z1-
.
z2
 | ＞ 
2
  |z1|，
∴（-1-a）2+1＞10…（10分）
∴a＜-4，或a＞2
故实数a的取值范围是（-∞，-4）∪（2，+∞）．…（14分）
点评：本题考查复数的基本运算，复数模的求法，本题解题的关键是构造出关于a的不等式，考查计算能力．
练习册系列答案
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（2009•浦东新区一模）如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越短，铺设管道的成本越低．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，AD=10
3
米，记∠BHE=θ．
（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）若sinθ+cosθ=
3
+1
2
，求此时管道的长度L；
（3）问：当θ取何值时，铺设管道的成本最低？并求出此时管道的长度．
（2009•浦东新区一模）已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，若S2=12，S3=a1-6，则
limn→∞
Sn=
16
16
．
（2009•浦东新区一模）函数y=2sin2x的最小正周期为
π
π
．
（2009•浦东新区一模）对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．
（1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由．
第一组：f1(x)=sinx，f2(x)=cosx，h(x)=sin(x+
π
3
)；
第二组：f1（x）=x2-x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2-x+1．
（2）设f1(x)=log2x，f2(x)=log
1
2
x，a=2，b=1，生成函数h（x）．若不等式h（4x）+t•h（2x）＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围．
（3）设f1(x)=x(x＞0)，f2(x)=
1
x
(x＞0)，取a＞0，b＞0生成函数h（x）图象的最低点坐标为（2，8）．若对于任意正实数x1，x2且x1+x2=1，试问是否存在最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由．
（2009•浦东新区二模）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c已知a=2
3
 ， c=2，且
.
sinCsinB0
0b-2c
cosA01
.
=0，求△ABC的面积．

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