Question

已知椭圆的左、右焦点分别是F₁（-c，0）、F₂（c，0），Q是椭圆外的动点，满足，点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点T在线段F₂Q上，并且满足，。

（1）设x为点P的横坐标，证明；
（2）求点T的轨迹C的方程；
（3）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M， 使△F₁MF₂的面积S=b²。若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）设点P的坐标为
由P在椭圆上，得
 =

由，知
所以=。
（2）设点T的坐标为
当=0时，点（a，0）和点（-a，0）在轨迹上
当||≠0且时，由得
又
所以T为线段F₂Q的中点
在△QF₁F₂中，
所以有
综上所述，点T的轨迹C的方程是。
（3）C上存在点M（x₀，y₀）使S=b²的充要条件是

由③得
由④得
所以当时，存在点M，使S=
当时，不存在满足条件的点M。
当时，
由


得。