Question

从双曲线

x2

3

-

y2

5

=1的左焦点F引圆x²+y²=3的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|-|MT|等于

 

．

Answer 1

分析：利用坐标原点是两焦点的中点，利用三角形的中位线的性质得到MO用焦半径表示；将MT用焦半径表示；利用圆的切线与过切点的半径垂直得到直角三角形；利用勾股定理及双曲线的定义，求出值．

解答：设双曲线的右焦点为F₁，因为O为FF₁中点，M为PF中点，所以MO为三角形PFF₁的中位线，
|MO|=

1

2

|PF₁|，
又|MT|=|PT|-|PM|=|PF|-|FT|-

1

2

|PF|=

1

2

|PF|-|FT|，
所以|MO|-|MT|=

1

2

（|PF₁|-|PF|）+|FT|=|FT|-a，
又a=

3

，
|FT|=

|FO|2-3

=

5

．
所以|MO|-|MT|=

5

-

3

．
故答案为

5

-

3

．

点评：在解决双曲线中的有关中点问题时，要注意坐标原点是两个焦点的中点、解决与双曲线的与焦点有关的问题常联系双曲线的定义．