Question

设，等差数列中，，记=，令，数列的前n项和为.

（Ⅰ）求的通项公式和；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）是否存在正整数，且，使得成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）  S_n==

（Ⅱ）见解析

（Ⅲ）成等比数列，存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比数列

解析:

（Ⅰ）设数列的公差为，由,.

解得，=3      ∴

               ∵       ∴S_n==.

(Ⅱ)  

∴   ∴

(Ⅲ)由(2)知，    ∴，

              ∵成等比数列.

 ∴       即

当时，7，=1，不合题意；

当时，，=16，符合题意；

当时，，无正整数解；

当时，，无正整数解；

当时，，无正整数解；

当时，，无正整数解；

当时， ，则，而，

所以，此时不存在正整数m,n,且1<m<n,使得成等比数列.

综上，存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比数列.