Question

将数列{a_n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如数表：
记表中的第一列数a₁，a₂，a₄，a₇…构成的数列为{b_n}，b₁=a₁=1．S_n为数列{b_n} 的前n项和，且满足

2bn

bnSn- S 2 n

=1（n≥2）．
（1）求b₂，b₃，b₄ 的值；
（2）证明数列{

1

Sn

}成等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（3）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当
a₈₁=-

4

91

时，设上表中第k（k≥3）行所有项的和为M_k，求M_k．

Answer 1

分析：（1）由

2bn

bnSn- S 2 n

=1（n≥2），可得2bn=bnSn-

S

2 n

．又b₁=1．分别令n=2，3，4即可得出．
（2）当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1，代入2bn=bnSn-

S

2 n

，经过变形即可证明．
（3）由表格可知：前n行共有

n(n+1)

2

个数．当n=12时，

12×13

2

=78．可知：a₈₁是第13行的第3个数．由于第13行的第1个数是b₁₃=

-2

13×14

=-

1

91

．设公比为q．利用等比数列的通项公式可得q．由于上表中第k（k≥3）行的第一个数为bk=

-2

k(k+1)

．利用等比数列的前n项和公式即可得出所有项的和M_k．

解答：解：（1）∵

2bn

bnSn- S 2 n

=1（n≥2），∴2bn=bnSn-

S

2 n

．
又b₁=1．
取n=2，则2b₂=（1+b₂）（b₂-b₂-1），化为2b₂=-1-b₂，解得b2=-

1

3

．
取n=3．则2b₃=(1-

1

3

+b3)(b3-b3+

1

3

-1)，解得b₃=-

1

6

．
取n=4，则2b4=(1-

1

3

-

1

6

+b4)(b4-b4+

1

6

+

1

3

-1)，解得b₄=-

1

10

．
（2）当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1，代入2bn=bnSn-

S

2 n

可得(Sn-2)(Sn-Sn-1)-

S

2 n

=0，
化为2S_n-1-2S_n-S_nS_n-1=0，
化为

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

，
∴数列{

1

Sn

}成等差数列，首项为1，公差为

1

2

．
∴

1

Sn

=1+

1

2

(n-1)，解得Sn=

2

n+1

．
∴当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=

2

n+1

-

2

n

=

-2

n(n+1)

．
∴bn=

1，n=1 -2 n(n+1) ，n≥2

．
（3）由表格可知：前n行共有

n(n+1)

2

个数．
当n=12时，

12×13

2

=78．
可知：a₈₁是第13行的第3个数．
∵第13行的第1个数是b₁₃=

-2

13×14

=-

1

91

．
设公比为q．则-

4

91

=-

1

91

×q2，q＞0，解得q=2．
由于上表中第k（k≥3）行的第一个数为bk=

-2

k(k+1)

．
故所有项的和M_k=

-2 k(k+1) (2k-1)

2-

=

-2

k(k+1)

(2k-1)．

点评：本题综合考查了递推式的意义、利用“当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1”求S_n、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力、考查了推理能力和计算能力，属于难题．