Question

（2012•安徽模拟）已知矩形ABCD中，AB=3，AD=2，点E在CD上且CE=1（如图（1））．把△DAE沿AE向上折起到D'AE的位置，使二面角D'-AE-B的大小为120°（如图（2））．
（Ⅰ）求四棱锥D'-ABCE的体积；
（Ⅱ）求CD'与平面ABCE所成角的正切值；
（Ⅲ）设M为CD'的中点，是否存在棱AB上的点N，使MN∥平面D'AE？若存在，试求出N点位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AE的中点P，连接DP，得出∠D′PD为二面角D'-AE-B平面角的补角，继而△DD′P为等边三角形，D′在平面ABCD内的射影H为PD的中点，D′H为D'-ABCE的高．
（Ⅱ）由（Ⅰ），∠D′CH为CD'与平面ABCE所成角．在RT△D′CH求解．
（Ⅲ）取CE的中点F，在平面ABCE内过F作FN∥AE交AB于N，点N为所求．

解答：解：（Ⅰ）取AE的中点P，连接DP，D′P，由DA=DE，D′A=D′E⇒DP⊥AE，D′P⊥AE故∠D′PD=60°⇒△DD′P为等边三角形，D′在平面ABCD内的射影H为PD的中点DP=

2

⇒D/H=

6

2

，又SABCE=4⇒VD/-ABCE=

2 6

3

（4分）
（Ⅱ）在三角形CDH中，由DH=

2

2

，CD=3，∠CDH=450由余弦定理可得CH=

26

2

⇒tan∠D/CH=

6 2

26 2

=

39

13

（8分）
（Ⅲ）存在棱AB上的点N，使MN∥平面D'AE．
取CE的中点F，则MF∥D′E，在平面ABCE内过F作FN∥AE交AB于N，
MF∩NF=F，D′E∩AE=E则平面MFN∥平面D′AE
又MN在平面MFN内，故MN∥平面D′AE
此时AN=EF=

1

2

CE=

1

2

，故存在N使MN∥平面D′AE（12分）

点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．