Question

4．若f（$\frac{1}{2}$+x）+f（$\frac{1}{2}$-x）=2对任意的正实数x成立，则f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2}{2015}$）+f（$\frac{3}{2015}$）+…f（$\frac{2014}{2015}$）=2014．

Answer 1

分析 由已知f（$\frac{1}{2}$+x）+f（$\frac{1}{2}$-x）=2可得f（x）+f（1-x）=2，进而利用倒序相加法，可得答案．

解答 解：∵f（$\frac{1}{2}$+x）+f（$\frac{1}{2}$-x）=2，
∴f[$\frac{1}{2}$+（x-$\frac{1}{2}$）]+f[$\frac{1}{2}$-（x-$\frac{1}{2}$）]=2，
即f（x）+f（1-x）=2，
令S=f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2}{2015}$）+f（$\frac{3}{2015}$）+…f（$\frac{2014}{2015}$），
则2S=2×2014，
则S=f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2}{2015}$）+f（$\frac{3}{2015}$）+…f（$\frac{2014}{2015}$）=2014，
故答案为：2014

点评 本题考查的知识点是函数求值，难度不大属于基础题，其中得到f（x）+f（1-x）=2，是解答的关键．