Question

【题目】设a为实数，函数f（x）=x|x﹣a|．
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）当0≤x≤1时，求f（x）的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可知函数f（x）的定义域为R．

当a=0时f（x）=x|x﹣a|=x|x|，为奇函数．

当a≠0时，f（x）=x|x﹣a|，

f（1）=|1﹣a|，f（﹣1）=﹣|1+a|，

f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x），

∴此时函数f（x）为非奇非偶函数

（2）解：若a≤0，则函数f（x）=x|x﹣a|在0≤x≤1上为增函数，

∴函数f（x）的最大值为f（1）=|1﹣a|=1﹣a，

若a＞0，由题意可得f（x）= ，

由于a＞0且0≤x≤1，结合函数f（x）的图象可知，

由 ，

当 ，即a≥2时，f（x）在[0，1]上单调递增，

∴f（x）的最大值为f（1）=a﹣1；

当 ，

即 时，f（x）在[0， ]上递增，在[ ，a]上递减，

∴f（x）的最大值为f（ ）= ；

当 ，即 时，

f（x）在[0， ]上递增，在[ ，a]上递减，在[a，1]上递增，

∴f（x）的最大值为f（1）=1﹣a

【解析】（1）先得出函数f（x）的定义域为R，对a分类讨论，结合函数的奇偶性的定义可得结果，（2）当a≤0时，f（x）=x|x﹣a|在0≤x≤1上为增函数，此时最大值为f（x）=1-a，当a＞0时，对二次函数进行定区间讨论得出最大值.
【考点精析】通过灵活运用函数的最值及其几何意义，掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值即可以解答此题．