Question

4．设函数f（x）在R内有定义，给出下列五个结论，其中正确的结论是（4）（填序号）．
（1）偶函数的图象一定与纵轴相交
（2）奇函数的图象一定通过原点
（3）既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）
（4）若奇函数f（x）在x=0有定义，则恒有f（0）=0；
（5）若函数f（x）为偶函数，则有f（x）=-f（x）=f（|x|）．

Answer 1

分析 利用函数的奇偶性即可判断出．

解答 解：（1）偶函数的图象一定与纵轴相交，不正确，例如y=$\frac{1}{|x|}$；
（2）奇函数的图象一定通过原点，不正确，例如y=$\frac{1}{x}$；
（3）函数f（x）是奇函数，故f（-x）=-f（x）；
函数f（x）是偶函数，故f（-x）=f（x）；
所以-f（x）=f（x），即2f（x）=0，于是f（x）=0，
所以，既是奇函数又是偶函数的函数f（x）是常函数f（x）=0，
但是函数的定义域是关于原点对称的开（闭）区间（a，-a），不一定是x∈R．即（3）不正确，
（4）∵f（x） 是定义在R上的奇函数，∴f（x）+f（-x）=0，∴f（0）+f（0）=0，∴f（0）=0，正确；
（5）若函数f（x）为偶函数，则有f（-x）=f（x）=f（|x|），不正确．
故答案为：（4）．

点评 本题考查函数的奇偶性，属于基础题．