Question

湘西山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P=-

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160

(x-40)2+100万元．当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年都投入60万元的销售投资，在未来10年的前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润Q=-

159

160

(60-x)2+

119

2

(60-x)万元．问从10年的累积利润看，该规划方案是否可行？

Answer 1

分析：由已知中每投入x万元，可获得利润P=-

1

160

(x-40)2+100万元，可知每年只须投入40万，可获得最大利润100万元，进而求出10年的总利润W₁，又由前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，由在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润Q=-

159

160

(60-x)2+

119

2

(60-x)万元，则我们可得前5年的本地销售利润和，及外地销售利润和，累加后与W₁相比较，即可判断出该规划方案是否可行．

解答：解：在实施规划前，由题设P=-

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160

(x-40)2+100（万元），
知每年只须投入40万，即可获得最大利润100万元．
则10年的总利润为W₁=100×10=1000（万元）．            
实施规划后的前5年中，
由题设P=-

1

160

(x-40)2+100知，每年投入30万元时，有最大利润Pmax=

795

8

（万元）．
前5年的利润和为

795

8

×5=

3975

8

（万元）．                       （6分）
设在公路通车的后5年中，每年用x万元投资于本地的销售，而用剩下的（60-x）万元于外地区的销售投资，则其总利润为W2=[-

1

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(x-40)2+100]×5+(-

159

160

x2+

119

2

x)×5=-5（x-30）²+4950．  （10分）
当x=30时，W₂|_max=4950（万元）．
从而10年的总利润为

3975

8

+4950（万元）．                       （12分）
∵

3975

8

+4950＞1000，故该规划方案有极大实施价值．             （13分）

点评：本题考查的知识点是根据实际问题选择函数类型，其中将该规划方案是否可行转化为两种投资方式的利润之比，进而转化为函数最值的比较，是解答本题的关键．