Question

（2011•安徽模拟）已知函数f(x)=2sin2(

π

4

-x)-2

3

cos2x+

3

（Ⅰ）求f（x）最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）若f（x）＜m+2在x∈[0，

π

6

]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由已知中函数f（x）的解析式，根据二倍角的余弦公式，诱导公式和和差角公式，可将函数的解析式化为正弦型函数的形式，进而根据正弦型函数的图象和性质，得到f（x）最小正周期和单调递减区间；
（II）由（I）中函数的解析式及正弦型函数的图象和性质，结合当0≤x≤

π

6

，有

π

3

≤2x+

π

3

≤

2

3

π，我们可以求出函数f（x）的值域，进而根据f(x)＜m+2在x∈[0，

π

6

]上恒成立，构造关于m的不等式，求出m的取值范围．

解答：解：（I）∵函数f(x)=2sin2(

π

4

-x)-2

3

cos2x+

3

∴f(x)=1-cos(

π

2

-2x)-

3

cos2x=1-sin2x-

3

cos2x=-2sin(2x+

π

3

)+1
∴T=

2π

2

=π
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，
即-

5

12

π+kπ≤x≤

π

12

+kπ，
故f（x）的递减区间：[-

5

12

π+kπ，

π

12

+kπ](k∈z)…（6分）
（II）由f(x)＜m+2在x∈[0，

π

6

]上恒成立，
得f（x）_max＜m+2，x∈[0，

π

6

]
由0≤x≤

π

6

，有

π

3

≤2x+

π

3

≤

2

3

π，
则

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1
故-1≤f(x)≤1-

3

，
则m+2＞1-

3

，
即m＞-1-

3

，

点评：本题考查的知识点是正弦函数的单调性，三角函数的化简求值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域和值域，其中根据已知求出函数的解析式是解答本题的关键．