Question

已知三次函数f（x）=x³+ax²-6x+b，a、b为实数，f（0）=1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为-6．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（x）≤|2m-1|对任意的x∈（-2，2）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求函数的导数，进而根据f'（1）=-6求出a的值，然后根据f（0）=1，求出b的值即可求出函数的解析式；
（2）先利用导数判断函数的单调性，进而求出函数在区间（-2，2）内的最大值，再解不等式即可．

解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax-6  …（1分）
由导数的几何意义，f'（1）=-6
∴a=-

3

2

 …（2分）
∵f（0）=1∴b=1  …（3分）
∴f（x）=x³-

3

2

x²-6x+1  …（4分）
（2）f'（x）=3x²-3x-6=3（x+1）（x-2）
令f'（x）=0得x₁=-1，x₂=2   …（5分）
当x∈（-2，-1）时，f'（x）＞0，f（x）递增；
当x∈（-1，2）时，f'（x）＜0，f（x）递减．…（7分）
∴在区间（-2，2）内，函数f（x）的最大值为f（-1）=

9

2

  …（8分）
∵f（x）≤|2m-1|对任意的x∈（-2，2）恒成立
∴|2m-1|≥

9

2

  …（10分）
∴2m-1≥

9

2

 2m-1≤-

9

2

∴m≥

11

4

或m≤-

7

4

   …（12分）

点评：本题的考查了导数的几何意义、导数的求法以及函数恒成立问题，对于函数恒成立问题一般转化成求函数的最值问题，属于中档题．