Question

（本小题满分12分）
已知，过点作直线与抛物线交于两点，若两点纵坐标之积为.
(1)求抛物线方程；
(2)斜率为的直线不经过点且与抛物线交于
(Ⅰ)求直线在轴上截距的取值范围；
(Ⅱ)若分别与抛物线交于另一点，证明：交于一定点.

Answer 1

解：（1）设两交点坐标分别为，，因直线经过点，故有
，即，化简得
，易知
，                                ………4分
即抛物线方程为
（2）(Ⅰ)将直线方程代入得
，由得，
又斜率为1经过点的直线截距为，
于是直线在轴上截距的取值范围是          ………8分
(Ⅱ)设的坐标分别为，
则直线的斜率，
同理知直线的斜率分别为
于是由三点共线得，
化简得                         ①
以替换得                 ②
同理由三点共线得
再由及共线分别得到
                             ③
                             ④
将①②式分别代入③④式得


易知，即与交于点.             ………12分

略