Question

设F₁、F₂分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．
（1）若椭圆C上的点A（1，）到F₁、F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F₁K的中点的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）把已知点的坐标代入椭圆方程，再由椭圆的定义知2a=4，从而求出椭圆的方程，由椭圆的方程求出焦点坐标．
（2）设F₁K的中点Q（x，y），则由中点坐标公式得点K（2x+1，2y），把K的坐标代入椭圆方程，化简即得线段KF₁的中点Q的轨迹方程．
解答：解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F₁、F₂两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2．…（2分）
又点A（1，）在椭圆上，因此=1得b²=3，于是c²=1．…（4分）
所以椭圆C的方程为=1，…（5分）
焦点F₁（-1，0），F₂（1，0）．…（7分）
（2）设椭圆C上的动点为K（x₁，y₁），线段F₁K的中点Q（x，y）满足：，即x₁=2x+1，y₁=2y．…（11分）
因此=1．即为所求的轨迹方程．…（15分）
点评：本题考查椭圆的简单性质、线段的中点公式，以及用代入法求轨迹方程．