Question

已知函数f（x）=（

1

3

）^x，x∈[-1，1]，函数g（x）=f²（x）-2af（x）+3的最小值为h（a），求h（a）．

Answer 1

分析：令t=（

1

3

）^x，x∈[-1，1]，则函数g（x）=f²（x）-2af（x）+3可化为φ（t）=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²，t∈[

1

3

，3]，对a值进行分类讨论，即可得到h（a）的表达式．

解答：解：∵x∈[-1，1]，
∴（

1

3

）^x∈[

1

3

，3]．
设t=（

1

3

）^x，t∈[

1

3

，3]．     
则当a＜

1

3

时，g（x）_min=h（a）=φ（

1

3

）=

28

9

-

2a

3

；
当

1

3

≤a≤3时，g（x）_min=h（a）=φ（a）=3-a²；
当a＞3时，g（x）_min=h（a）=φ（3）=12-6a．
∴h（a）=

28 9 - 2a 3   (a＜ 1 3 )  3-a2   ( 1 3 ≤a≤3) 12-6a   (a＞3)

．

点评：本题考查的知识点是指数型复合函数的性质及应用，分段函数解析式的求法，其中利用换元法，将问题中的函数类型转化为二次函数是解答本题的关键．