Question

【题目】已知函数．

（1）当，时，讨论函数的单调性；

（2）对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）当时，，其定义域为，

．…………………1分

令，．

①当时，恒成立，

故恒成立，故在上为增函数；…………………2分

②当时，，令，得（），

当时，，为增函数，当时，，为减函数，当时，，，为增函数，…………………4分

综上，当时，在上为增函数；当时，在，上为增函数，在上为减函数．…………………5分

（2）不等式等价于，

即等价于．…………………6分

令，，则．…………………7分

再令 ，，则，

故在上为减函数，于是，…………………9分

从而，于是在上为减函数，所以，…………………10分

故要使恒成立，只要．…………………11分

综上，的最大值为．…………………12分

请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.

【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立等基础知识，意在考查逻辑推理能

力、等价转化能力、运算求解能力，以及考查函数与方程思想、分类讨论思想．