Question

17．已知函数f（x）=x³-3x²+2，函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（x+3）^{2}+1，x＜0}\\{（x-\frac{1}{2}）^{2}+1，x≥0}\end{array}\right.$，则关于x的方程g[f（x）]-a=0（a＞0）的实根个数取得最大值时，实数a的取值范围是（　　）

• A． （1，$\frac{5}{4}$]
• B． （1，$\frac{5}{4}$）
• C． [1，$\frac{5}{4}$]
• D． [0，$\frac{5}{4}$]

Answer 1

分析 利用换元法设t=f（x），则g（t）=a分别作出两个函数的图象，根据a的取值确定t的取值范围，利用数形结合进行求解判断即可．

解答 解：作出函数f（x）和g（x）的图象如图：
由g[f（x）]-a=0（a＞0）得g[f（x）]=a，（a＞0）
设t=f（x），则g（t）=a，（a＞0）
由y=g（t）的图象知，
①当0＜a＜1时，方程g（t）=a有两个根-4＜t₁＜-3，或-4＜t₂＜-2，
由t=f（x）的图象知，当-4＜t₁＜-3时，t=f（x）有0个根，
当-4＜t₂＜-2时，t=f（x）有0个根，
此时方程g[f（x）]-a=0（a＞0）有0个根，
②当a=1时，方程g（t）=a有两个根t₁=-3，或t₂=$\frac{1}{2}$，
由t=f（x）的图象知，当t₁=-3时，t=f（x）有0个根，
当t₂=$\frac{1}{2}$时，t=f（x）有3个根，
此时方程g[f（x）]-a=0（a＞0）有3个根，
③当1＜a＜$\frac{5}{4}$时，方程g（t）=a有两个根0＜t₁＜$\frac{1}{2}$，或$\frac{1}{2}$＜t₂＜1，
由t=f（x）的图象知，当0＜t₁＜$\frac{1}{2}$时，t=f（x）有3个根，
当$\frac{1}{2}$＜t₂＜1时，t=f（x）有3个根，
此时方程g[f（x）]-a=0（a＞0）有3+3=6个根，
④当a=$\frac{5}{4}$时，方程g（t）=a有两个根t₁=0，或t₂=1，
由t=f（x）的图象知，当t₁=0时，t=f（x）有3个根，
当t₂=1时，t=f（x）有3个根，
此时方程g[f（x）]-a=0（a＞0）有3+3=6个根
⑤当a＞$\frac{5}{4}$时，方程g（t）=a有1个根t₁＞1，
由t=f（x）的图象知，当t₁＞1$\frac{1}{2}$时，t=f（x）有3或2个或1个根，
此时方程g[f（x）]-a=0（a＞0）有3或2个或1个根，
综上方程g[f（x）]-a=0（a＞0）的实根最多有6个根，
当方程的实根为6个时，对应的1＜a≤$\frac{5}{4}$，
即实数a的取值范围是（1，$\frac{5}{4}$]
故选：A．

点评 本题主要考查根的个数的判断，利用换元法转化为两个函数的交点个数问题，利用分类讨论和数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．