Question

（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线l的参数方程为（t为参数，m为常数），以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为：ρ2－2ρsinθ－4＝0，且直线l与圆C交于A、B两点.

（1）若|AB|＝，求直线l的倾斜角；

（2）若点P的极坐标为(,)，且满足2，求此时直线l的直角坐标方程．

Answer 1

（1）倾斜角为60°或120°；（2）x－y＝0或x＋y－2＝0.

【解析】

试题分析：（1）直线l: mx－y＋1－m＝0，圆C：x2＋(y－1)2＝5，圆心C(0, 1)，半径r＝，

圆心C到直线l的距离d＝，

由|AB|＝2＝2d＝＝m＝±，

得到直线l的斜率k＝m＝±，倾斜角为60°或120°；

（2）得到点P(1, 1)，设A(x1, y1), B(x2, y2), 由2＝可得x2＝3－2x1

由 得(m2＋1)x2－2m2x＋m2－5＝0，应用韦达定理及上式，得到A（, ）

把点A的坐标代入圆C的方程得m＝±1.

试题解析：（1）直线l: mx－y＋1－m＝0

圆C：x2＋(y－1)2＝5，圆心C(0, 1)，半径r＝，

圆心C到直线l的距离d＝，

∵|AB|＝2＝2d＝＝m＝±，

∴直线l的斜率k＝m＝±，倾斜角为60°或120° 5分

（2）∵点P(1, 1)，设A(x1, y1), B(x2, y2), 则

＝(1―x1, 1―y1), ＝(x2―1, y2―1)， 2＝，

∴2(1－x1)＝x2－1x2＝3－2x1

由 得(m2＋1)x2－2m2x＋m2－5＝0，

∴ ，∴A（, ）

把点A的坐标代入圆C的方程得m2＝1 m＝±1

∴直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0 10分

考点：1.极坐标与参数方程;2.直线与圆的位置关系;3.平面向量的坐标运算.