Question

已知向量

a

=（cos

3x

2

，sin

3x

2

），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），且x∈[0，

π

2

]．
（1）已知

a

∥

b

，求x；
（2）若f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|+2λ的最小值等于-3，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量共线的结论，化简可求x；
（2）利用向量的数量积公式化简函数，再利用二次函数求最值的方法，分类讨论，即可求λ的值．

解答：解：（1）∵

a

∥

b

，
∴cos

3x

2

×（-sin

x

2

）-sin

3x

2

cos

x

2

=0，即sin2x=0，
∵x∈[0，

π

2

]，∴x=0，

π

2

…（3分）
（2）∵

a

=（cos

3x

2

，sin

3x

2

），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），
∴

a

•

b

=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x，
|

a

+

b

|=

2+2 a • b

=

2+2cos2x

，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴f（x）=cos2x-2λ

1+2cos2x

+2λ=2cos²x-4λcosx+2λ-1，
令g（t）=2t²-4λt+2λ-1，0≤t≤1
∴①当λ≤0时，g（t）在[0，1]上为增函数，
g（t）_min=g（0）=2λ-1=-3，
∴λ=-1≤0；
②当0＜λ≤1时，g（t）_min=g（λ）=-3，
∴λ²-λ-1=0∴λ=

1± 5

2

∉[0，1]，舍去；
③当λ＞1时，g（t）在[0，1]上为减函数，
g（t）_min=g（1）=1-2λ=-3，
∴λ=2＞0．
∴由上可知，λ=-1或2．

点评：本题考查向量的数量积公式，考查三角函数的化简，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，正确化简函数是关键．