Question

4．已知$\frac{2si{n}^{2}x+sin2x}{1+tanx}=\frac{1}{2}$（$\frac{π}{4}＜x＜\frac{π}{2}$），则sinx-cosx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由三角函数中的恒等变换应用化简已知可得$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{1+{t}^{2}}$，结合角的范围，即可解得x=$\frac{π}{3}$，利用特殊角的三角函数值即可得解．

解答 解：∵设t=tanx，
∴$\frac{2si{n}^{2}x+sin2x}{1+tanx}=\frac{1}{2}$
∴$\frac{1-cos2x+sin2x}{1+tanx}$=$\frac{1-\frac{1-{t}^{2}}{1+{t}^{2}}+\frac{2t}{1+{t}^{2}}}{1+t}$=$\frac{2t}{1+{t}^{2}}$=sin2x=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{π}{4}＜x＜\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$＜2x＜π，
∴解得x=$\frac{5π}{12}$，
∴sin$\frac{5π}{12}$-cos$\frac{5π}{12}$=$\sqrt{2}$sin（$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，特殊角的三角函数值的应用，属于基本知识的考查．